第 2.5 节 陪集与 Lagrange 定理 & 第 2.6 节 正规子群与商群

1. (1) $\implies$ (2)： 设 $a^{-1}b = h \in H$。两边左乘 $a$，得 $b = a(a^{-1}b) = ah \in aH$。
2. (2) $\implies$ (3)： 若 $b \in aH$，则存在 $h_0 \in H$ 使 $b = ah_0$。
   对任意 $x \in bH$，有 $x = bh = (ah_0)h = a(h_0h) \in aH$（因 $H$ 对乘法封闭），故 $bH \subseteq aH$；
   反之，$a = bh_0^{-1}$，对任意 $y \in aH$，有 $y = ah' = (bh_0^{-1})h' = b(h_0^{-1}h') \in bH$（因 $H$ 对求逆与乘法封闭），故 $aH \subseteq bH$。 双向包含因此 $aH = bH$。
3. (3) $\implies$ (4)： 因单位元 $e \in H$，故 $a = ae \in aH$。又已知 $aH = bH$，所以 $a \in bH$，从而 $a \in aH \cap bH \neq \emptyset$。
4. (4) $\implies$ (1)： 设存在共同元素 $c \in aH \cap bH$。则存在 $h_1, h_2 \in H$ 使得 $c = ah_1 = bh_2$。
   两边同左乘 $a^{-1}$，右乘 $h_2^{-1}$，可得：$a^{-1}b = h_1 h_2^{-1}$。
   因 $H \leqslant G$ 是子群，求逆与乘法均封闭，故 $h_1 h_2^{-1} \in H$，即证得 $a^{-1}b \in H$。

闭环逻辑链路完整得证，四条件完全等价。$\blacksquare$

考虑乘积映射 $f: A \times B \to AB$，定义为 $f(a, b) = ab$。显然由定义 $f$ 是满射。
我们要计算对于任意像元素 $x \in AB$，原像纤维 $f^{-1}(x)$ 包含多少个有序对 $(a, b) \in A \times B$？
设 $a_1 b_1 = a_2 b_2 = x$。两边左乘 $a_2^{-1}$，右乘 $b_1^{-1}$，可得： $$a_2^{-1} a_1 = b_2 b_1^{-1}$$ 观察此等式：左边属于子群 $A$，右边属于子群 $B$，因此该元素必属于两者的交集：令 $h = a_2^{-1} a_1 = b_2 b_1^{-1} \in A \cap B$。
由此得到：$a_1 = a_2 h, \; b_1 = h^{-1} b_2$。
反之，对 $A \cap B$ 中的任意元素 $h$，有序对 $(a_2 h, h^{-1} b_2)$ 都在 $A \times B$ 中，且其乘积恰为： $$(a_2 h)(h^{-1} b_2) = a_2 (h h^{-1}) b_2 = a_2 b_2 = x$$ 这证明：对于 $AB$ 中的每一个元素 $x$，$A \times B$ 中恰好有 $|A \cap B|$ 个不同的有序对映到它！
根据等容量纤维分解原理： $$|A \times B| = |AB| \cdot |A \cap B| \implies |A| \cdot |B| = |AB| \cdot |A \cap B| \implies |AB| = \frac{|A||B|}{|A \cap B|}$$ 证毕。$\blacksquare$

令 $X = G/H$ 为 $H$ 在 $G$ 中的全体左陪集集合，由题设 $|X| = [G:H] = p$。
定义群 $G$ 在集合 $X$ 上的左乘置换作用：对任意 $g \in G, xH \in X$，对应为 $g(xH) = (gx)H$。
此置换表示诱导了一个群同态：$\varphi: G \to S_X \cong S_p$（$S_p$ 为 $p$ 次对称群）。
令 $K = \mathrm{Ker}\ \varphi$ 为该同态的核，由同态基本性质知 $K \trianglelefteq G$ 且容易验证 $K \subseteq H$（因 $k \in K \implies k(eH) = eH \implies k \in H$）。
由同态基本定理，$G/K \cong \mathrm{Im}\ \varphi \leqslant S_p$，故由 Lagrange 定理，$[G:K] = |G/K| \mid |S_p| = p!$。
又由指数乘积链式法则：$[G:K] = [G:H][H:K] = p \cdot [H:K]$，可得： $$[H:K] \mid \frac{p!}{p} = (p-1)!$$ 另一方面，因 $K \leqslant H \leqslant G$，$[H:K]$ 的所有素因子必为 $|G|$ 的素因子。
但已知 $p$ 是 $|G|$ 的最小素因子，这意味着 $|G|$ 的任何素因子都 $\geqslant p$！
而在 $(p-1)! = 1 \times 2 \times \dots \times (p-1)$ 中，所有的素因子均严格 $< p$。
一个所有素因子都 $\geqslant p$ 的正整数，整除一个所有素因子都 $< p$ 的正整数，唯一可能就是 $[H:K] = 1$！
由此立即推出 $H = K$。因为 $K$ 作为同态核天然是 $G$ 的正规子群，故证得 $H \trianglelefteq G$！$\blacksquare$

1. 证明 $A \cap B \trianglelefteq G$：
   已知任意两子群的交必然是子群：$A \cap B \leqslant G$。
   对任意 $g \in G$ 及任意 $x \in A \cap B$： 因 $x \in A$ 且 $A \trianglelefteq G$，由共轭包含准则有 $gxg^{-1} \in A$； 因 $x \in B$ 且 $B \trianglelefteq G$，同理有 $gxg^{-1} \in B$。
   因此 $gxg^{-1} \in A \cap B$。由判据 2 即证得 $A \cap B \trianglelefteq G$。
2. 证明 $AB \trianglelefteq G$：
   首先验证乘积集合 $AB$ 是子群：因 $A \trianglelefteq G$，对任意 $b \in B$ 有 $Ab = bA$，故 $AB = \bigcup_{b \in B} Ab = \bigcup_{b \in B} bA = BA$。 两子群可交换乘积必构成子群：$AB \leqslant G$。
   其次验证正规性：任取 $g \in G$ 及任意元素 $x \in AB$（设 $x = ab$，其中 $a \in A, b \in B$）： $$gxg^{-1} = g(ab)g^{-1} = (gag^{-1})(gbg^{-1})$$ 由于 $A \trianglelefteq G$，有 $gag^{-1} \in A$；由于 $B \trianglelefteq G$，有 $gbg^{-1} \in B$。
   故乘积 $(gag^{-1})(gbg^{-1}) \in AB$。由判定准则 2，证得 $AB \trianglelefteq G$。$\blacksquare$

任取 $A = \begin{pmatrix} r & s \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in G$（由二阶初等求逆公式 $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/r & -s/r \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$），任取 $M = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in H$。
直接计算共轭矩阵 $AMA^{-1}$： $$AM = \begin{pmatrix} r & s \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r & rx + s \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$AMA^{-1} = \begin{pmatrix} r & rx + s \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1/r & -s/r \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -s + (rx+s) \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & rx \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 因为 $r, x \in \mathbb{Q}$，故 $rx \in \mathbb{Q}$，且主对角线全为 1，左下角为 0，故 $AMA^{-1} \in H$！由判据 2，立即证得 $H \trianglelefteq G$。
求解商群 $G/H$：
构造映射 $\varphi: G \to (\mathbb{Q}^*, \cdot)$，规则为取对角线上首元素：$\varphi\begin{pmatrix} r & s \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = r$。
因两矩阵乘积的左上对角元恰为各自对角元之积，故 $\varphi(A B) = \varphi(A)\varphi(B)$，$\varphi$ 是群同态。
对任意非零有理数 $r \in \mathbb{Q}^*$，均有 $\begin{pmatrix} r & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in G$，故 $\varphi$ 是满同态。
其同态核为：$\mathrm{Ker}\ \varphi = \left\{ \begin{pmatrix} r & s \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in G \;\middle|\; r = 1 \right\} = H$。
由群同态基本定理 (第一同构定理)，立得商群同构于非零有理数乘法群： $$G/H \cong \mathrm{Im}\ \varphi = (\mathbb{Q}^*, \cdot)$$ 证毕。$\blacksquare$

根据商群的乘法定义，对任意 $a, b \in G$，有： $$G/H \text{ 是交换群} \iff \forall a, b \in G, \; (aH)(bH) = (bH)(aH)$$ $$\iff (ab)H = (ba)H$$ 根据定理 2.5.1 陪集相等的充要条件（$xH = yH \iff y^{-1}x \in H$），上述等式成立等价于： $$(ba)^{-1}(ab) \in H \iff (a^{-1}b^{-1})(ab) \in H$$ 两边取逆元，对任意 $a, b \in G$ 均有 $aba^{-1}b^{-1} \in H$。
由定义，换位子群 $G'$ 是由群中全体换位子 $[a, b] = aba^{-1}b^{-1}$ 生成的子群。
因此，所有生成元都在 $H$ 中 $\iff G' \leqslant H$。
代数哲学意义： 换位子群 $G'$ 是度量群 $G$ 偏离阿贝尔交换性程度的“最小标尺”！只有把 $G'$ 包含进去并做商群折叠，才能彻底抹杀非交换性，得到交换商群！$G/G'$ 亦称为 $G$ 的交换化 (Abelianization)。$\blacksquare$