突破传统抽象代数“符号晦涩、概念脱节”的思维藩篱。本套系统严格依照教材《应用近世代数》（胡冠章 第三版）与杨国武教授讲义体系， 将 2.1 至 2.9 全九节核心内容 重构为通俗具象的代数直觉，配备 11 个可交互沙盒探针 与全部 27 道考后必刷作业题 的深度图解推导。
从对称性抽象出群的四大公理；通俗辨析半群、含幺半群与群；精析数群、模运算群、Klein四元群 $K_4$、四元数群 $Q_8$ 及全线性群；推导子群判定三准则与阶的六大性质。
探究“单元素生成”的循环群构造与欧拉函数 $\varphi(n)$；剖析正多边形对称群 $D_n$；掌握置换双行表示与不相交轮换唯一分解；剖析置换奇偶性不变量与 Cayley 定理的具象映射。
陪集是群的“无缝平移切片”；揭示 Lagrange 定理的“切蛋糕”本质与 Fermat/Euler 定理推论；揭示普通子群无法作除法的根本原因；建立正规子群判据与商群“粗粒化缩点”体系。
共轭是“不同基底下的同一对称操作”；中心化子、正规化子与类方程天平；秒杀 $p$-群中心非平凡与 $p^2$ 阶群交换性；透彻理解同态“结构投影仪”机制与同态基本定理 $G/\mathrm{Ker}\varphi \cong \mathrm{Im}\varphi$。
群元素作为“变换算子”作用于目标集；深入轨道（能飞到的位置）与稳定子群（保持不动元素）；推导轨道-稳定子定理 $|\Omega_x| = [G:G_x]$；以“双重计数法”攻克 Burnside 引理与项链着色计数。
| 章节 | 题号 | 题目核心要点 | 核心考查知识点与解题关键 | 操作 |
|---|---|---|---|---|
| 第 2.1 节 | T1 | 整数行列式 1 矩阵群 $SL_n(\mathbb{Z})$ | 封闭性、伴随矩阵、$\det(A^{-1}) = (\det A)^{-1} = 1$ | 查看解题 ➔ |
| 第 2.1 节 | T2 | 四元数群 $Q_8$ 矩阵乘法验证 | 非交换乘法表、虚数单位基底 $I^2=J^2=K^2=IJK=-E$ | 查看解题 ➔ |
| 第 2.1 节 | T6 | $S_3$ 对称群乘法表完整构造 | 6 个元素的双行记号与轮换、非交换性分析、子群初探 | 查看解题 ➔ |
| 第 2.2 节 | T1 | 半群与子半群单位元差异反例 | $(\mathbb{Z},\cdot)$ 子半群 $2\mathbb{Z}$ 无单位元；矩阵投影子半群单位元异化 | 查看解题 ➔ |
| 第 2.2 节 | T3 | 求 $\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{Z}_{12}$ 的全部子群 | 无限群子群形如 $m\mathbb{Z}$；有限循环群子群与因数 $d \mid 12$ 双射格网 | 查看解题 ➔ |
| 第 2.2 节 | T4 | 证明对任意 $a, b \in G$ 有 $o(ab)=o(ba)$ | 有限与无限两阶段证明、利用共轭技巧 $ba = a^{-1}(ab)a$ 极简通解 | 查看解题 ➔ |
| 第 2.2 节 | T6 | $\forall a, b, (ab)^2 = a^2b^2 \implies$ Abel群 | 消去律 $abab = aabb \implies ba = ab$；高阶幂反例辨析 | 查看解题 ➔ |
| 第 2.3 节 | T3 | 证明 Klein 四元群同构于 $(\mathbb{Z}_{12}^*, \cdot)$ | $\mathbb{Z}_{12}^* = \{1, 5, 7, 11\}$，验证各非幺元均为 2 阶 | 查看解题 ➔ |
| 第 2.3 节 | T5 | 无限循环群子群的交与生成子群 | $A \cap B = \langle a^{[r,s]} \rangle$ 最小公倍数；$\langle A,B \rangle = \langle a^{(r,s)} \rangle$ 最大公因数 | 查看解题 ➔ |
| 第 2.3 节 | T7 | 确定无限循环群的全部极大子群 | 子群包含关系与整数整除性倒置，$m$ 必为素数 $p$ 时为极大子群 | 查看解题 ➔ |
| 第 2.4 节 | T1 | 轮换共轭变换公式 $\tau\sigma\tau^{-1}$ 证明 | 映射复合顺序、指标集分类讨论、共轭保持轮换长度不变量 | 查看解题 ➔ |
| 第 2.4 节 | T3 | 置换群全为偶置换或奇偶各半证明 | 对换乘积奇偶规律、固定奇置换建立左乘双射映射 | 查看解题 ➔ |
| 第 2.4 节 | T4 | $S_n$ 的各类经典生成元系统证明 | 邻项对换 $(i\ i+1)$ 生成任意对换；$(1\ 2)$ 与 $(1\ 2 \dots n)$ 极小生成系 | 查看解题 ➔ |
| 第 2.5 节 | T1 | 陪集四等价命题循环证明 | $a^{-1}b \in H \iff b \in aH \iff aH = bH \iff aH \cap bH \neq \emptyset$ | 查看解题 ➔ |
| 第 2.5 节 | T3 | 子群乘积阶公式 $|HK| = \frac{|H||K|}{|H \cap K|}$ | 映射多对一纤维分解、陪集互不相交性、成子群充要条件 $HK=KH$ | 查看解题 ➔ |
| 第 2.5 节 | T7 | 最小素因子指数子群必为正规子群 | 陪集左乘作用、核定理、非平凡陪集置换群与阶数互素 | 查看解题 ➔ |
| 第 2.6 节 | T1 | 正规子群的交与乘积仍正规 | 共轭定义验证 $g(A \cap B)g^{-1} \subseteq A \cap B$；利用 $AB=BA$ 证明成群及正规性 | 查看解题 ➔ |
| 第 2.6 节 | T4 | 仿射矩阵群的正规子群判定与商群计算 | $\begin{pmatrix} r & s \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 计算共轭矩阵，验证对角元为 1 保持不变 | 查看解题 ➔ |
| 第 2.6 节 | T6 | 商群交换性与换位子群包含关系 | $aHbH = bHaH \iff aba^{-1}b^{-1} \in H \iff G' \leqslant H$ | 查看解题 ➔ |
| 第 2.7 节 | T1 | $GL_2(\mathbb{C})$ 上三角群的中心、中心化子与正规化子 | 数量矩阵特性、对角线方程求解、上三角矩阵共轭不变性判定 | 查看解题 ➔ |
| 第 2.7 节 | T2 | $S_4$ 中置换 $(1\ 2)$ 的共轭类及大小计算 | 对换型 $(2, 1, 1)$ 共轭类，大小为 $\binom{4}{2} = 6$；中心化子阶为 4 | 查看解题 ➔ |
| 第 2.7 节 | T4 | 唯一 $n$ 阶子群必为正规子群证明 | 共轭映射下保持阶不变，由唯一性知 $gHg^{-1} = H$ 必成立 | 查看解题 ➔ |
| 第 2.8 节 | T2 | 仿射变换商群同构于 $\mathbb{R}^*$ 证明 | 构造同态 $\varphi(a, b) = a$，证明满同态且 $\mathrm{Ker}\varphi = K$，用同态基本定理 | 查看解题 ➔ |
| 第 2.8 节 | T3 | 群同态下单位元、逆元与子群像的性质 | $\varphi(e)=e', \varphi(x^{-1})=(\varphi(x))^{-1}$，子群像为子群，原像为子群 | 查看解题 ➔ |
| 第 2.8 节 | T4 | 确定自同构群 $\mathrm{Aut}(\mathbb{Z})$ 与 $\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}_n)$ | 生成元必须映为生成元；$\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}_2$，$\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}_n) \cong U(n)$ | 查看解题 ➔ |
| 第 2.8 节 | T7 | 单群到任意群的同态必为单同态或零同态 | $\mathrm{Ker}\varphi \trianglelefteq G$，单群只有平凡正规子群 $\{e\}$ 或 $G$ | 查看解题 ➔ |
| 第 2.9 节 | T1 | 轨道等价关系 $b \in \Omega_a \iff \Omega_a = \Omega_b$ 证明 | 利用逆元可逆性证明对称性，复合性证明传递性 | 查看解题 ➔ |
| 第 2.9 节 | T2 | 轨道-稳定子定理求正多面体旋转群阶数 | 正四面体顶点轨道长 4，定点旋转阶 3，故群阶 12；正六面体面轨道 6，阶 24 | 查看解题 ➔ |